Question

某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然長期進行頑強的斗爭，到1999年底全縣的綠化率已達到30％，從1999年開始，每年將出現這樣的局面：原有沙漠面積的16％被栽上樹，改造成綠洲，而同時原有綠洲面積的4％又被侵蝕，變為沙漠．

(1)設全縣面積為1，1999年底綠洲面積a₁＝，經過一年(指2000年底)綠洲面積為a₂，經過n年綠洲面積為a_n+1，求證：a_n+1＝a_n＋．

(2)問至少經過多少年的努力才能使全縣綠洲面積超過60％？

Answer 1

答案：
解析：

答：約經過五年的努力，綠洲面積可超過60％． 　　解：(1)設1999年底綠洲面積為b1，經過n年綠洲面積為bn+1，則a1＋b1＝1且an＋bn＝1． 　　因為綠洲面積an+1由兩部分組成，一部分是原有綠洲面積an減去被侵蝕掉的面積an－an＝an；另一部分是新綠洲面積bn，所以an+1＝an＋bn＝an＋(1－an)，即an+1＝an＋． 　　(2)∵an+1－＝(an－)， 　　∴{an－}是公比為的等比數列． 　　∴an－＝(a1－)×()n－1＝－×()n－1．∴an＝－×()n－1． 　　令an≤60％＜an+1，即－×()n－1≤＜－×()n， 　　得()n＜≤()n－1， 　　兩邊取對數，得nlg＜lg≤(n－1)lg， 　　則＜n≤＋1，＝≈4.1． 　　∴4.1＜n≤5.1．