Question

某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然長期進行頑強的斗爭，到1999年底全縣的綠化率已達到30%，從1999年開始，每年將出現這樣的局面：原有沙漠面積的16%被栽上樹，改造成綠洲，而同時原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變為沙漠.

(1)設全縣面積為1,1999年底綠洲面積a₁=,經過一年(指2000年底)綠洲面積為a₂,經過n年綠洲面積為a_n+1,求證：a_n+1=a_n+；

(2)問至少經過多少年的努力才能使全縣綠洲面積超過60%？

Answer 1

解：(1)設1999年底沙漠面積為b₁,經過n年沙漠面積為b_n+1,則a₁+b₁=1且a_n+b_n=1.

因為綠洲面積a_n+1由兩部分組成，一部分是原有綠洲面積a_n減去被侵蝕掉的面積a_n-a_n=a_n;另一部分是新綠洲面積b_n,

∴a_n+1=a_n+b_n=a_n+(1-a_n),

即a_n+1=a_n+.

(2)∵a_n+1-=(a_n-),

∴{a_n-}是公比為的等比數列.

∴a_n-=(a₁-)×()^n-1=-×()^n-1.

∴a_n=-×()^n-1.

令a_n≤60%＜a_n+1，即-×()^n-1≤＜-×()ⁿ,

得()ⁿ＜≤()^n-1,

兩邊取對數得nlg＜lg≤(n-1)·lg,

則＜n≤+1,=≈4.1.

∴4.1＜n≤5.1.

答：約經過6年的努力，綠洲面積可超過60%.