Question

某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然長期進行頑強的斗爭，到1999年底全縣的綠化率已達到30%，從1999年開始，每年將出現這樣的局面：原有沙漠面積的16%被栽上樹，改造成綠洲，而同時原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變為沙漠.

（1）設全縣面積為1，1999年底綠洲面積a₁=，經過一年（指2000年底）綠洲面積為a₂，經過n年綠洲面積為a_n+1，求證：a_n+1=a_n+.

（2）問至少經過多少年的努力才能使全縣綠洲面積超過60%？

   

Answer 1

解：(1)設1999年底綠洲面積為b₁，經過n年綠洲面積為b_n+1，則a₁+b₁=1且a_n+b_n=1.

因為綠洲面積a_n+1由兩部分組成，一部分是原有綠洲面積a_n減去被侵蝕掉的面積a_n-a_n= a_n；另一部分是新綠洲面積b_n，所以a_n+1=a_n+b_n=a_n+(1-a_n)，即a_n+1=a_n+.

     (2)∵a_n+1-= (a_n-)，

    ∴{a_n-}是公比為的等比數列.

    ∴a_n-=(a₁-)×()^n-1=-×()^n-1.∴a_n=-×()^n-1.

    令a_n≤60%＜a_n+1，即-×()^n-1≤＜-×()ⁿ，

    得()ⁿ＜≤()^n-1，

    兩邊取對數，得nlg＜lg≤(n-1)lg，

    則＜n≤+1，=≈4.1.

    ∴4.1＜n≤5.1.

    答：約經過五年的努力，綠洲面積可超過60%.