Question

已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）在[0，7]上只有1和3兩個零點，且y=f（2-x）與y=（7+x）都是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在[-2013，2013]上的零點個數(shù)為（　　）

• A、804
• B、805
• C、806
• D、807

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)y=f（2-x）與y=f（7+x）都是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）=f（10+x）即函數(shù)是周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性即可得到函數(shù)零點的個數(shù)．

解答： 解：∵y=f（2-x）與y=f（7+x）都是偶函數(shù)，
∴f（2-x）=f（2+x），f （7+x）=f（7-x），即f（x）關(guān)于x=2和x=7對稱．
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-x）=f（x）；
∵f（7-x）=f（7+x），∴f（4-x）=f（10+x），∴f（x）=f（10+x），
即10是函數(shù)f（x）的一個周期．
∵f（7-x）=f（7+x），函數(shù)f（x）在[4，7]上無根．∴函數(shù)f（x）在[7，10]上無根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有兩根為1和3．
f（x）=0的根為10n+1或10n+3的形式．
∴0≤10n+1≤2013，解得0≤n≤201.2，共202個
∴0≤10n+3≤2013，解得0≤n≤201，共202個，
∴方程f（x）=0在閉區(qū)間[0，2013]上根的個數(shù)為404個，
同理可得，方程f（x）=0在區(qū)間[-2013，0）上根的個數(shù)為402個，
故方程f（x）=0在[-2013，2013]上的根的個數(shù)為806個，
故函數(shù)y=f（x）在[-2013，2013]上的零點個數(shù)為806個，
故選：C．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．