Question

[2013·長春調研]在數列{a_n}中，已知a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2^n－1，則a_n＝________.

Answer 1

2^n－1

由a_n＋1＝a_n＋2^n－1，得a_n＋1－a_n＝2^n－1，
所以a₂－a₁＝1，
a₃－a₂＝2，
a₄－a₃＝2²，
a₅－a₄＝2³，
…
a_n－a_n－1＝2^n－2(n≥2)，
將以上n－1個式子相加，得
a_n－a₁＝1＋2＋2²＋2³＋…＋2^n－2＝2^n－1－1，
所以a_n＝2^n－1(n≥2)，
又a₁＝1也適合此式，故a_n＝2^n－1(n∈N^*)．