Question

【題目】如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點,過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標原點).

(1)證明動點D在定直線上;

(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點N1,與(1)中的定直線相交于點N2,證明|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2)證明見解析；|MN2|2-|MN1|2為定值8.

【解析】分析：（1）設，方程為，則為方程的解，從而，而，利用前者可以得到，從而在定直線上.

（2）設切線方程為，由直線和拋物線相切可以得到，從而得到的坐標，它們和有關，利用兩點之間的距離公式可以得到.

詳解：(1)證明:依題意可設方程為，代入，

得 ，即.

設，則有，

直線的方程為； 的方程為.

解得交點的坐標，注意到 及，

則有.

因此點在定直線.

(2)解:依題設,切線的斜率存在且不等于,設切線的方程為，

代入得，即.

由得，化簡整理得.

故切線的方程可寫為.

分別令得的坐標為，，

則，即為定值.