Question

（2008•佛山一模）已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=

π

3

時，f（x）取得極小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=f（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥f（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．試證明：直線l：y=x+2為曲線S：y=ax+bsinx“上夾線”．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f′（x）=a+bcosx，

a+ 1 2 b=0 π 3 •a+ 3 2 b= π 3 - 3

，從而可求得a，b的值；
（2）依題意，可證得（-

π

2

，-

π

2

+2）是直線l與曲線S的切點，（

3π

2

，

3π

2

+2）也是直線l與曲線S的切點；滿足①；對任意x∈R，g（x）-f（x）═2+2sinx≥0，滿足②，從而可證得結論．

解答：解：（1）∵f（x）=ax+bsinx，
∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得：

a+ 1 2 b=0 π 3 •a+ 3 2 b= π 3 - 3

，
∴a=1，b=-2，
此時f（x）=x-2sinx，
∴f′（x）=1-2cosx，
當x∈（0，

π

3

）時，f′（x）＜0，
當∈（

π

3

，

π

2

）時，f′（x）＞0，
∴當x=

π

3

時，f（x）取得極小值

π

3

-

3

，
即a=1，b=-2符合題意；
（2）證明：由f′（x）=1-2cosx=1，得cosx=0，
當x=-

π

2

時，cosx=0，此時y₁=x+2=-

π

2

+2，y₂=x-2sinx=-

π

2

+2，
∴y₁=y₂，
∴（-

π

2

，-

π

2

+2）是直線l與曲線S的切點；
當x=

3π

2

時，cosx=0，此時y₁=x+2=

3π

2

+2，y₂=x-2sinx=

3π

2

+2，
∴y₁=y₂，
∴（

3π

2

，

3π

2

+2）也是直線l與曲線S的切點；
∴直線l與曲線S相切且至少有兩個切點，
對任意x∈R，g（x）-f（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0
即g（x）≥f（x），因此直線l：y=x+2為曲線S：y=x-2sinx“上夾線”．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，（1）求得a=1，b=-2后，需分析驗證“x=

π

3

時，f（x）取得極小值”，學生易忘記這一步；（2）中，分析（-

π

2

，-

π

2

+2）與（

3π

2

，

3π

2

+2）是直線l與曲線S的切點，即滿足①是難點，考查綜合分析與推理的能力，屬于難題．