Question

（2008•佛山一模）如圖，在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐．AB=2，BC=3，點P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=

2

．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）若AA₁=a，當a為何值時，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：方法一：（Ⅰ）證明PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）過P點在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，連接AE，可得∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角，從而可求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）當a=2時，PC∥平面AB₁D，利用線面平行的判定可得結論；
方法二：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，證明PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求得

PA

=(3，-1，-1)，平面ABCD的一個法向量為

n1

=(0，0，1)，利用向量的夾角公式，可求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）求得平面AB₁D的一個法向量為

n2

=(0，a，2)，要使得PC∥平面AB₁D，則要

PC

⊥

n2

，從而可得結論．

解答：方法一：（Ⅰ）證明：因為PD=PC=

2

，CD=AB=2，
所以△PCD為等腰直角三角形，所以PD⊥PC．                …（1分）
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，所以BC⊥面CC₁D₁D，
而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．    （3分）
因為PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，
所以由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）解：過P點在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，連接AE．…（5分）
因為面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，
所以∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角．…（6分）
因為PE=1，AE=

10

，所以tan∠PAE=

PE

AE

=

1

10

=

10

10

．
所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為

10

10

．…（8分）
（Ⅲ）解：當a=2時，PC∥平面AB₁D．…（9分）
當a=2時，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，所以∠C₁DC=45°，
而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90°，所以C₁D⊥PD．…（10分）
而PC⊥PD，C₁D與PC在同一個平面內，所以PC∥C₁D．…（11分）
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D． …（12分）
方法二：（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標系，設棱長AA₁=a，則有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）．  …（2分）
于是

PD

=(0，-1，-1)，

PB

=(3，1，-1)，

PC

=(0，1，-1)，所以

PD

•

PB

=0，

PD

•

PC

=0．…（3分）
所以PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．  …（4分）
（Ⅱ）解：A（3，0，a），所以

PA

=(3，-1，-1)，而平面ABCD的一個法向量為

n1

=(0，0，1)．…（5分）
所以cos＜

PD

，

n1

＞=

-1

11 ×1

=-

11

11

．…（6分）
所以PA與平面ABCD所成的角的正弦值為

11

11

． …（7分）
所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為

10

10

．…（8分）
（Ⅲ）解：B₁=（3，2，0），所以

DA

=(3，0，0)，

AB1

=(0，2，-a)．
設平面AB₁D的法向量為

n2

=(x，y，z)，則有

DA • n2 =3x=0 AB1 • n2 =2y-az=0

，
令z=2，可得平面AB₁D的一個法向量為

n2

=(0，a，2)．  …（10分）
若要使得PC∥平面AB₁D，則要

PC

⊥

n2

，即

PC

•

n2

=a-2=0，解得a=2．…（11分）
所以當a=2時，PC∥平面AB₁D．  …（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，線面角，考查空間向量知識的運用，屬于中檔題．