Question

【題目】設，曲線在點處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對于任意的恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=0（2）m≥1

【解析】試題分析：（1）先求導數，再根據導數幾何意義得f′（1）=1，求得的值；（2）先分離變量 ，再利用導數研究函數單調性，最后根據洛必達法則求函數最大值，即得的取值范圍．

試題解析：（1）f′（x）=

由題設f′（1）=1，∴，∴a=0．

（2），x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），

即4lnx≤m（3x﹣﹣2）

設g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即x∈[1，|+∞），g（x）≤0，

∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣4m

①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾

②若m∈（0，1），當x∈（1，），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，g（x）≥g（1）=0，與題設矛盾．

③若m≥1，當x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）單調遞減，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立

綜上所述，m≥1．