Question

【題目】已知函數

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，討論的單調性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線方程、利用導數求函數的單調性等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，先將代入得到表達式，對求導，將切點的橫坐標2代入中得到切線的斜率k，再將切點的橫坐標2代入到中，得到切點的縱坐標，最后利用點斜式寫出切線方程；第二問，討論的單調性即討論的正負，即討論導數表達式分子的正負，所以構造函數，通過分析題意，將分成、、、多種情況，分類討論，判斷的正負，從而得到的單調性.

試題解析：（1）當時，

6分

（2）因為，

所以，

令8分

（i）當a=0時，

所以當時g(x)>0, 此時函數單調遞減，

x∈（1，∞）時，g(x)<0, 此時函數f,(x)單調遞增。

（ii）當時，由，解得： 10分

①若,函數f(x)在上單調遞減， 11分

②若，在單調遞減，在上單調遞增.

③ 當a<0時，由于1/a-1<0,

x∈(0,1)時，g(x)>0,此時,函數f(x)單調遞減；

x∈（1，∞）時，g(x)<0 , ,此時函數單調遞增。

綜上所述：

當a≤ 0 時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減;

函數f(x)在 (1, +∞) 上單調遞增

當時,函數f(x)在(0, + ∞)上單調遞減

當時，函數f(x)在上單調遞減；

函數 f(x)在上單調遞增； 14分