Question

【題目】拋物線，，為拋物線的焦點，是拋物線上兩點，線段的中垂線交軸于，，。

（Ⅰ）證明：是的等差中項；

（Ⅱ）若，為平行于軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）第一問，先化簡得到,再根據線段的中垂線的性質得到，把這兩個式子結合起來即可證明是的等差中項. (Ⅱ)第二問，先求出弦長的平方等于定值的條件，即可得到直線的方程為.

試題解析：（Ⅰ）設，由拋物線定義知

又中垂線交軸于，故

，

因為，所以，，

故

即，是的等差中項.

（Ⅱ）因為，所以。設，，

故圓心， 設直線的方程為，

由于弦長為定值，故為定值，這里R為圓的半徑，d為圓心到的距離。

故

令，即時，

為定值，

故這樣的直線的方程為.