Question

（2012•臨沂二模）某高中學校為了推進課程改革，滿足不同層次學生的需求，決定從高一開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設數學、物理、化學和生物輔導講座，每位有興趣的同學可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導講座，也可以放棄任何一門科目的輔導講座（規定：各科達到預先設定的人數時為滿座，否則成為不滿座），統計數據表明，各學科講座各天的滿座概率如下表：

	生物	化學	物理	數學
周一	1 4	1 4	1 3	1 2
周三	1 3	1 2	1 2	2 3
周五	1 3	1 3	1 2	2 3

根據表：
（Ⅰ）求數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；
（Ⅱ）設周三各輔導講座滿座的科目數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，利用對立事件和獨立事件同時發生的概率計算公式能夠求出數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出隨機變量ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）設數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，
則P（A）=（1-

1

2

）×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）=

1

18

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1-

1

3

）×（1-

1

2

）²×（1-

2

3

）=

1

18

，
P（ξ=1）=

1

3

×(1-

1

2

)2×(1-

2

3

)+2×

1

2

×(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×(1-

2

3

)+

2

3

×(1-

1

3

)×(1-

1

2

)2=

1

4

，
P（ξ=2）=(

1

2

)2×(1-

1

3

)×(1-

2

3

)+2×

1

2

×(1-

1

2

)×

1

3

×(1-

2

3

)+2×（1-

1

2

×(1-

1

2

)×

2

3

×(1-

1

3

)+

1

3

×

2

3

×(1-

1

2

)2=

7

18

，
P（ξ=3）=2×

1

2

×(1-

1

2

)×

1

3

×

2

3

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×(1-

2

3

)×(1-

1

3

)=

1

4

，
P（ξ=4）=

1

3

×

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

18

．
∴隨機變量ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 18	1 4	7 18	1 4	1 18

故Eξ=0×

1

18

+1×

1

4

+2×

7

18

+3×

1

4

+4×

1

18

=2．

點評：本題考查離散隨機變量的概率分布列和數學期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時要認真審題，注意排列組合知識和概率知識的靈活運用．