Question

（2012•臨沂二模）在圓x²+y²=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段，D為垂足，點M在線段PD上，且|DP|=

2

|DM|，點P在圓上運動．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過定點C（-1，0）的直線與點M的軌跡交于A、B兩點，在x軸上是否存在點N，使

NA

•

NB

為常數，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），利用|DP|=

2

|DM|，確定P，M坐標之間的關系，再將P點的坐標后代入圓的方程即可得；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的數量積運算，化簡即可得到結論．

解答：解：（I）設M（x，y），由題意D（x，0），P（x，y₁）
∵|DP|=

2

|DM|，∴|y1|=

2

|y|
∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴x2+y12=4
∴x²+2y²=4
∴點M的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1(x≠±2)；
（Ⅱ）假設存在N（n，0）
AB斜率存在時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程：y=k（x+1），
代入橢圓方程得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，∴x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-4

1+2k2

∵

NA

=(x1-n，y1)，

NB

=(x2-n，y2)，
∴

NA

•

NB

=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂）=（1+k²）x₁x₂+(k2-n)(x1+x2)+k2+n2=

1

2

(2n2+4n-1)-

2n+ 7 2

1+2k2

∵

NA

•

NB

是與k無關的常數，
∴2n+

7

2

=0
∴n=-

7

4

，即N（-

7

4

，0），此時

NA

•

NB

=-

15

16

當直線AB與x垂直時，n=-

7

4

時

NA

•

NB

=-

15

16

綜上所述，在x軸上存在定點N（-

7

4

，0），使

NA

•

NB

為常數．

點評：本題考查了利用相關點法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．