Question

【題目】已知函數是奇函數， 是偶函數.

（1）求和的值；

（2）說明函數的單調性；若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設，若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， （2）見解析（3）.

【解析】試題分析：（1）由函數是奇函數， 是偶函數，可得，進而可得和的值；（2）由在單調遞增，且為奇函數 ， 可得恒成立，等價于 恒成立，令，求其最值，可得答案；（3）存在，使不等式成立，而在單增，∴，∴，解不等式即可得結果.

試題解析：（1）由得， ，則，

經檢驗是奇函數，故.

由得，則，故，

經檢驗是偶函數，∴， .

（2）∵，且在單調遞增，且為奇函數，

∴由恒成立，得，

∴恒成立，

即恒成立，

令在的最小值為

，所以.

（3），

則由已知得，存在，使不等式成立，而在單增，

∴，

∴

∴

又

又∵ ∴

∴.