Question

【題目】已知函數，其中.

（I）討論函數的單調性；

（II）若，證明：對任意 ，總有.

Answer 1

【答案】（I）①若，在，上單調遞增，在上單調遞減，②若時，在上單調遞增，③若時，在，上單調遞增，在上單調遞減；（II）證明見解析．

【解析】試題分析：（I）先求函數導數，再求導函數零點或，根據兩個零點大小分三種情況討論：若，在，上單調遞增，在上單調遞減.若時，則在上單調遞增.若時，則在，上單調遞增，在上單調遞減.（II）同（1）可得：當時，在上單調遞增，因此將所證不等式變量分離得 ，構造函數，只需利用導數證明函數單調遞減

試題解析：解：（I）∵，，

令，得或

①若，則時，；

時，；

時，，

故函數在，上單調遞增，在上單調遞減

②若時，則在上單調遞增

③若時，則在，上單調遞增，在上單調遞減

（II）由（I）可知，當時，在上單調遞增，不妨設，則有，，于是要證，即證，

即證，

令，

∵，

∵，，

∴在上單調遞減，即有.

故.