Question

設(shè)函數(shù)，其中．
（I）若函數(shù)圖象恒過定點P，且點P關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，討論的單調(diào)性；
（Ⅲ）在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

( I ) ；(Ⅱ)當(dāng)m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)m＜0時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).(Ⅲ)存在，.

試題分析：( I )先求出定點P，然后找出點P關(guān)于直線的對稱點代入，即得到；(Ⅱ)將代入，得到，再討論m的取值范圍，從而得到的單調(diào)性；(Ⅲ)先求出的表達式，再假設(shè)存在P、Q兩點滿足題意，由，討論的范圍，從而得到a的取值范圍為.
試題解析：( I ) 令，則，即函數(shù)圖象恒過定點P (2，0)    (1分)
∴P (2，0)關(guān)于直線的對稱點為(1，0)       (2分)
又點(1，0)在的圖象上，∴，∴      (3分)
(Ⅱ) ∵且定義域為      (4分)
∴    (5分)
∵x＞0，則x＋1＞0　
∴當(dāng)m≥0時，此時在(0，＋∞)上為增函數(shù).      (6分)
當(dāng)m＜0時，由得，由得
∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).      (7分)
綜上，當(dāng)m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數(shù).
當(dāng)m＜0時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).   (8分)
(Ⅲ)由( I )知，，假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題意，則P、Q兩點只能在軸兩側(cè)，設(shè)，則，
因為△OPQ(O為原點)是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，
，即①
（1）當(dāng)時，，此時方程①為，化簡得.此方程無解，滿足條件的P、Q不存在.
(2)當(dāng)時，，此時方程①為，
即.
設(shè)，則，
顯然當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，所以的值域為.
所以當(dāng)時方程①總有解.
綜上，存在P、Q兩點滿足題意，則a的取值范圍為.