Question

設函數f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e為自然對數的底數）
（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函數h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由：
3）數列{}中，a₁＝1，＝g（）（n≥2），求證：＜＜＜1且＜．

Answer 1

（1）最小值0；（2）見解析；（3）見解析.

試題分析：（1）利用導數求解即可；（2）假設存在，，，然后利用導數求出最小值判斷即可；（3）先證遞減且由（2）知時，又在上遞增，所以當時，總有，即也成立，然后利用數學歸納法證明.
試題解析：（1）
易知時，時
所以在上遞減，而在上遞增                   2分
故時，取最小值0                          3分
（2）由（1）可知，
所以若存在一次函數使得
且總成立，則，即；
所以可設，代入得恒成立，
所以，所以，，
此時設，則，
易知在上遞減，在上遞增，
所以，即對一切恒成立；
綜上，存在一次函數符合題目要求                          6分
（3）先證遞減且
由（2）知時，又在上遞增，所以當時，
總有，即也成立
下面用數學歸納法證明
（1）時，因為，所以成立；
（2）假設時，結論成立，即
由于時，，又在上遞增，
則，即也成立
由（1）（2）知，恒成立；而時
所以遞減
綜上所述                          9分
所以
                          12分