Question

定義兩個平面向量的一種運算

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，則關于平面向量上述運算的以下結論中，
①

a

?

b

=

b

?

a

，
②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，
③若

a

=λ

b

，則

a

?

b

=0，
④若

a

=λ

b

，且λ＞0，則（

a

+

b

）?

c

=（

a

?

c

）+（

b

?

c

）．
恒成立的有（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：①由新定義可得

a

?

b

=|

a

| |

b

|sin＜

a

，

b

＞=

b

?

a

，即可判斷出；
②由新定義可得λ(

a

?

b

)=λ|

a

| |

b

|sin＜

a

，

b

＞，而(λ

a

)?

b

=|λ

a

| |

b

|sin＜

a

，

b

＞，當λ＜0時，λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，不成立；
③若

a

=λ

b

，可得sin＜

a

，

b

＞=0，故

a

?

b

=0，即可判斷出；
④若

a

=λ

b

，且λ＞0，則

a

+

b

=(1+λ)

b

，
由新定義可得(

a

+

b

)?

c

=|(1+λ)| |

b

| |

c

|sin＜

b

，

c

＞，而(

a

?

c

)+(

b

?

c

)=|λ

b

| |

c

|sin＜

b

，

c

＞+|

b

| |

c

|sin＜

b

，

c

＞=|1+λ| |

b

| |

c

|sin＜

b

，

c

＞．即可判斷出．

解答：解：①∵

a

?

b

=|

a

| |

b

|sin＜

a

，

b

＞=

b

?

a

，故，故恒成立；
②∵λ(

a

?

b

)=λ|

a

| |

b

|sin＜

a

，

b

＞，而(λ

a

)?

b

=|λ

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，當λ＜0時，λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，不成立；
③若

a

=λ

b

，則sin＜

a

，

b

＞=0，得到

a

?

b

=0，故恒成立；
④若

a

=λ

b

，且λ＞0，則

a

+

b

=（1+λ）

b

，
∴(

a

+

b

)?

c

=|(1+λ)||

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞，
而(

a

?

c

)+(

b

?

c

)=|λ

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞+|

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞=|1+λ||

b

||

c

|sin＜

b

，

c

＞．
故（

a

+

b

）?

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