Question

假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元）有如表的統計資料：

使用年限x	2	3	4	5	6
維修費用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）畫出散點圖；
（2）若線性相關，則求出回歸方程

y

=bx+a；
（3）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？（參考公式：b=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

）

Answer 1

分析：（1）建立直角坐標系，根據表中所給的數據依次描點即可得到散點圖；
（2）根據線性相關，利用線性相關系數b的求解公式b=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，代入求得b的值，再根據a=

.

y

-b

.

x

求出a的值，從而得到回歸方程

^y

=bx+a；
（3）根據（2）中所求得的線性回歸方程，將x=10代入求得y的值，即可得使用年限為10年時的維修費用．

解答：解：（1）畫出散點圖如圖所示；
（2）由散點圖可發現，y與x呈線性相關關系，
根據表中所給的數據，
∴

.

x

=

2+3+4+5+6

5

=4，

.

y

=

2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

5

=5，
∴

5

i=1 x 2 i

=2²+3²+4²+5²+6²=90，

5

i=1

xiyi=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3，
∴b=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

=

112.3-5×4×5

90-5×42

=1.23，
a=

.

y

-b

.

x

=5-1.23×4，=0.08，
∴回歸方程為

^y

=1.23x+0.08，
（3）當x=10時，

^y

=1.23×10+0.08=12.38，
∴估計使用10時，維修費用約為12.38萬元．

點評：本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點，這是求解線性回歸方程的步驟之一．線性回歸方程必過樣本中心（

.

x

，

.

y

），這是線性回歸中最常考的知識點，希望能夠熟練掌握．屬于中檔題．