Question

假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統計資料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

試求：
（1）對x與y進行線性相關性檢驗；
（2）如果y對x呈線性相關關系，求線性回歸方程；（其中

a

和

b

均保留兩位小數）
（3）估計使用年限為10年時，維修費用是多少萬元？（保留兩位小數）
（參考公式與數據：r=

n i=1 xiyi-n . x . y

( n i=1 x 2 i -n . x 2)( n i=1 y 2 i -n . y 2)

，

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

=

b

.

x

，

5

i=1

 

x

2 i

=90，

5

i=1

y

2 i

=140.8，

.

x

=4，

.

y

=5，

5

i=1

xiyi=1123，

79

≈8.9，

2

≈1.4，n-2=3時，r_0.05=0.878）

Answer 1

分析：（1）對x與y進行線性相關性檢驗可做統計假設：x與y不具有線性相關關系求出r的值，再判斷線性相關關系；
（2）做出利用最小二乘法所用的幾個數據，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，寫出線性回歸方程．
（3）給出自變量的值，把它代入線性回歸方程，求出y的值，這里得到的不是y的準確數值，而是一個估計值，一個預報值

解答：解：（1）做統計假設：x與y不具有線性相關關系

5

i=1

xiyi-5

.

x

.

y

=112.3-5×4×5=12.3   

5

i=1

xi 2-5

.

x

2=90-5×42=10

5

i=1

yi 2-5

.

y

2=140.8-125=15.8     r=

12.3

10×15.8

≈0.987
|r|=0.987＞0.878，所以有95%的把握認為“x與y具有線性相關關系”．
（2）∵

5

i=1

xi2=4+9+16+25+36=90 
且

.

x

=4，

.

y

=5，n=5，
∴

?

b

=

112.3-5×4×5

90-5×16

=

12.3

10

=1.23

?

a

=5-1.23×4=0.08
∴回歸直線為y=1.23x+0.08．
（3）當x=10時，y=1.23×10+0.08=12.38，
所以估計當使用10年時，維修費用約為12.38萬元．

點評：本題考查線性回歸方程的求法和應用，是一個基礎題，解題的關鍵是利用最小二乘法時，不要把數據運算出錯，其他的知識點應該沒有問題．