Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點M，點E是CD延長線上一點，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圓O于F，BF交CD于點G．

（1）求證：EF=EG；
（2）求線段MG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AF，OF，則A，F，G，M共圓，

∴∠FGE=∠BAF，

∵EF⊥OF，

∴∠EFG=∠FGE，

∴EF=EG

（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，

∴ED= OM=4，EF2=EDEC=48，EF=EG=4 ，

連接AD，則∠BAD=∠BFD，

∴MG=EM﹣EG═8﹣4 ．

【解析】（1）由EF為圓的切線得∠EFG=∠BAF，由垂直關系可知點A、M、G、F四點共圓，從而得∠FGE=∠BAF，所以∠EFG=∠FGE（2）由已知及切線長定理可得，EF=EG=4 ，從而MG=EM﹣EG=8﹣4 ．