Question

已知定義在區間[-π，

3π

2

]上的函數y=f（x）圖象關于直線x=

π

4

對稱，當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的圖象；（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若關于x的方程f（x）=a有解，將方程中的a取一確定的值所得的所有的解的和記為M_a，求M_a的所有可能的值及相應的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx畫出在[

π

4

，

3π

2

]上的圖象；再根據圖象關于直線x=

π

4

對稱把另一部分添上即可；
（2）先根據x∈[-π，

π

4

]得到

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，再結合當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx即可求出y=f（x）的解析式；
（3）結合圖象可得：關于x的方程f（x）=a有解可以分為四個根，三個根，兩個根三種情況，再分別對每種情況求出所有的解的和M_a即可．

解答：解：（1）y=f（x）的圖象如圖所示．
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，則

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，因函數y=f(x)圖象關于直線x=

π

4

對稱，
則f(x)=f(

π

2

-x)．，又當x≥

π

4

時，f(x)=-sinx，則f(x)=f(

π

2

-x)=-sin(

π

2

-x)=-cosx．
即f(x)=

-cosx，x∈[-π π 4 ) -sinx，x∈[ π 4 3π 2 ]

．
（3）當a=-1時，f（x）=a的兩根為0，

π

2

，則Ma=

π

2

；
當a∈(-1，-

2

2

)時，f(x)=a的四根滿足x1＜x2＜

π

4

＜x3＜x4，由對稱性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，則M_a=π；
當a=-

2

2

時，f(x)=a的三根滿足x1＜x2=

π

4

＜x3，由對稱性得，x3+x1=

π

2

，則Ma=

3π

4

；當a∈(-

2

2

，1]時，f(x)=a兩根為x1，x2，則對稱性得，Ma=

π

2

．
綜上，當a∈(-1，-

2

2

)時，Ma=π；當a=-

2

2

時Ma=

3π

4

；當a∈(-

2

2

，1]∪{-1}時，Ma=

π

2

．

點評：本題主要考查分段函數的解析式求法及其圖象的作法以及分類討論思想的運用．解決第二問的關鍵在于根據x∈[-π，

π

4

]得到

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]．