Question

為了解某地區中學生的身體發育狀況，擬采用分層抽樣的方法從甲、乙、丙三所中學抽取6個教學班進行調查．已知甲、乙、丙三所中學分別有12，6，18個教學班．
（Ⅰ）求從甲、乙、丙三所中學中分別抽取的教學班的個數；
（Ⅱ）若從抽取的6個教學班中隨機抽取2個進行調查結果的對比，求這2個教學班中至少有1個來自甲學校的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出甲、乙、丙三所中學的教學班所占比例，用樣本容量乘以甲、乙、丙三所中學的教學班所占比例，即得從甲、乙、丙三所中學中分別抽取的教學班的個數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從甲、乙、丙三所中學分別抽取2，1，3個教學班，不妨分別記為 A₁，A₂，B₁，C₁，C₂，C₃，把從6個教學班中隨機抽取2個教學班的基本事件一一列舉
出來，找出其中至少有1個來自甲學校的基本事件，即可求出這2個教學班中至少有1個來自甲學校的概率．

解答：解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中學共有教學班的比是12：6：18=2：1：3，…（1分）
∴甲、乙、丙三所中學的教學班所占比例分別為

2

6

，

1

6

，

3

6

，
所以甲學校抽取教學班數為 6×

2

6

個，乙學校抽取教學班數為6×

1

6

個，丙學校抽取教學班數為6×

3

6

個，…（4分）
所以分別抽取的教學班個數為2，1，3．                 …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從甲、乙、丙三所中學分別抽取2，1，3個教學班，不妨分別記為 A₁，A₂，B₁，C₁，C₂，C₃，
則從6個教學班中隨機抽取2個教學班的基本事件為：（ A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，C₁），（A₁，C₂），（A₁，C₃），
（A₂，B₁），（A₂，C₁），（A₂，C₂），（A₂，C₃），（B₁，C₁），（B₁，C₂），（B₁，C₃），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₂，C₃），共15個，…（7分）
設“從6個教學班中隨機抽取2個教學班，至少有1個來自甲學校”為事件D，…（8分）
則事件D包含的基本事件為：（ A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，C₁），（A₁，C₂），（A₁，C₃），（A₂，B₁），（A₂，C₁），（A₂，C₂），（A₂，C₃），
共9個．  …（10分）
所以 P（D）=

9

15

=

3

5

． …（12分）
所以從抽取的6個教學班中隨機抽取2個，且這2個教學班中至少有1個來自甲學校的概率為

3

5

．…（13分）

點評：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用了總體中各層的個體數之比等于樣本中對應各層的樣本數之比，屬于基礎題．