Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=1-

a

x

（a為實常數）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數?（x）=f（x）-g（x）在定義域上的最小值；
（Ⅱ）若方程e^2f（x）=g（x）在區間[

1

2

，1]上有解，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若數列{a_n}的通項公式為an=f(

(2n+1)2

n(n+1)

)，它的前n項和為S_n，求證：Sn＞

3

4

n+

1

24

-

1

8(2n+3)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）我們易求出當a=1時，函數φ（x）的解析式及其導函數的解析式，利用導數法，判斷出函數的單調性，從而求得最小值；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=g（x）在區間[

1

2

，1]上有解，可轉化為方程a=x-x³在區間[

1

2

，1]上有解，構造函數h（x）利用導數法求出函數的值域，即可得到實數a的取值范圍；
（Ⅲ）利用放縮法及裂項法，我們可以求出a_k＞

3

4

+

1

8

（

1

2k+1

-

1

2k+3

），在進行求和，從而進行證明；

解答：解：（Ⅰ）a=1，代入g（x），定義域{x|x＞0}
可得?（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-1，（x＞0），
?′（x）=

x-1

x2

，
當x≥1時，f（x）≥0，f（x）為增函數；
當x＜1時，f（x）＜0，f（x）為減函數；
?（x）在x=1處取得極小值，也是最小值，
?（x）_min=?（1）=0；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=g（x），可得e^2lnx=1-

a

x

，
可得a=x-x³求h（x）=x-x³，在區間[

1

2

，1]上求最值問題，
h′（x）=1-3x²，令h′（x）=0，可得x=

3

3

，
當x＞

3

3

時，h′（x）＜0，h（x）為減函數；
當0＜x＜

3

3

時，h′（x）＞0，h（x）為增函數；
f（x）極大值=f（x）最大值=f（

3

3

）=

2 3

9

，
f（1）=0，f（

1

2

）=

3

8

，
∵方程e^2f（x）=g（x）在區間[

1

2

，1]上有解，
∴0≤h（x）≤

2 3

9

∴0≤a≤

2 3

9

；
（Ⅲ）數列{a_n}的通項公式為an=f(

(2n+1)2

n(n+1)

)，
可得a_n=ln

(2n+1)2

n(n+1)

，
∵由（1）可知，?（x）_min=?（1）＞0，即lnx＞1-

1

x

，
a_k＞1-

4k2+4k+1

k(k+1)

=

3

4

+

1

4

•

1

(2k+1)2

＞

3

4

+

1

4

•

1

(2k+1)(2k+3)

=

3

4

+

1

8

（

1

2k+1

-

1

2k+3

），
S_n=

n

k=1

ak＞

3

4

n+

1

8

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

3

4

n+

1

8

(

1

3

-

1

2n+3

)=

3

4

n+

1

24

-

1

8(2n+3)

，
即證；

點評：本題考查的知識點是導數在最大值，最小值問題中的應用，導數在證明函數單調性時的應用，函數恒成立問題，不等式與函數的綜合應用，其中第一問的關鍵是利用導數法；第二問的關鍵是利用導數法，求出函數的最值，進而得到函數的值域，而第三問的關鍵是利用不等式證明的放縮法；