Question

已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓x²+3y²=4上，對角線BD所在直線的斜率為l.

（Ⅰ）當(dāng)直線BD過點(diǎn)（0，1）時，求直線AC的方程；

（Ⅱ）當(dāng)∠ABC=60°，求菱形ABCD面積的最大值.

Answer 1

解： （Ⅰ）由題意得直線BD的方程為y=x+1.

                     因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.

于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.

由得

因為A，C在橢圓上，

所以△＝-12n²+64＞0，解得

設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂),

則

所以

所以AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

由四邊形ABCD為菱形可知，點(diǎn)在直線y=x+1上，

所以，解得n=-2.

所以直線AC的方程為，即x+y+2=0.

（Ⅱ）因為四邊形ABCD為菱形，且,

        所以

所以菱形ABCD的面積

由（Ⅰ）可得

所以

所以當(dāng)n=0時，菱形ABCD的面積取得最大值.