Question

已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓x²+3y²=4上，對角線BD所在直線的斜率為1．
（Ⅰ）當直線BD過點（0，1）時，求直線AC的方程；
（Ⅱ）當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得直線BD的方程，根據四邊形ABCD為菱形，判斷出AC⊥BD．于是可設出直線AC的方程與橢圓的方程聯立，根據判別式大于0求得n的范圍，設A，C兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂，代入直線方程可表示出y₁+y₂，進而可得AC中點的坐標，把中點代入直線y=x+1求得n，進而可得直線AC的方程．
（Ⅱ）根據四邊形ABCD為菱形判斷出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．進而可得菱形ABCD的面積根據n的范圍確定面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得直線BD的方程為y=x+1．
因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．
于是可設直線AC的方程為y=-x+n．
由

x2+3y2=4 y=-x+n

得4x²-6nx+3n²-4=0．
因為A，C在橢圓上，
所以△=-12n²+64＞0，解得-

4 3

3

＜n＜

4 3

3

．
設A，C兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

3n

2

，x1x2=

3n2-4

4

，y₁=-x₁+n，y₂=-x₂+n．
所以y1+y2=

n

2

．
所以AC的中點坐標為(

3n

4

，

n

4

)．
由四邊形ABCD為菱形可知，點(

3n

4

，

n

4

)在直線y=x+1上，
所以

n

4

=

3n

4

+1，解得n=-2．
所以直線AC的方程為y=-x-2，即x+y+2=0．
（Ⅱ）因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
所以|AB|=|BC|=|CA|．
所以菱形ABCD的面積S=

3

2

|AC|2．
由（Ⅰ）可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=

-3n2+16

2

，
所以S=

3

4

(-3n2+16)(-

4 3

3

＜n＜

4 3

3

)．
所以當n=0時，菱形ABCD的面積取得最大值4

3

．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，直線方程和最值解析幾何的綜合題，在高考中的“綜合程度”往往比較高，注意復習時與之匹配