Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF2|=

5

3

（I）求橢圓C₁的方程；   
（Ⅱ）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C₁上，頂點B、D在直線7x-7y+1=0上，求直線AC的方程．

Answer 1

分析：（I）設點M為（x₁，y₁），由F₂是拋物線y²=4x的焦點，知F₂（1，0）；|MF₂|=

5

3

，由拋物線定義知x₁+1=

5

3

，即x₁=

2

3

；由M是C₁與C₂的交點，y₁²=4x₁，由此能求出橢圓C₁的方程．
（II）直線BD的方程為：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，設直線AC的方程為x+y=m，由

x+y=m x2 4 + y2 3 =1

，得7x²-8mx+4m²-12=0．由點A、C在橢圓C₁上，知（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，由此能導出直線AC的方程．

解答：解：（I）設點M為（x₁，y₁），
∵F₂是拋物線y²=4x的焦點，
∴F₂（1，0）；
又|MF₂|=

5

3

，由拋物線定義知
x₁+1=

5

3

，即x₁=

2

3

；
由M是C₁與C₂的交點，
∴y₁²=4x₁，即y₁=±

2 6

3

，這里取y₁=

2 6

3

；
又點M（

2

3

，

2 6

3

）在C₁上，
∴

4

9a2

+

8

3b2

=1，且b²=a²-1，
∴9a⁴-37a²+4=0，∴a2=4或a2=

1

9

＜c2（舍去），
∴a²=4，b²=3；
∴橢圓C₁的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
（II）∵直線BD的方程為：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨設直線AC的方程為x+y=m，
則

x+y=m x2 4 + y2 3 =1

∴消去y，得7x²-8mx+4m²-12=0；
∵點A、C在橢圓C₁上，
∴（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，即m²＜7，∴-

7

＜m＜

7

；
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

8m

7

，y₁+y₂=（-x₁+m）+（-x₂+m）=-（x₁+x₂）+2m=-

8m

7

+2m=

6m

7

，
∴AC的中點坐標為(

4m

7

，

3m

7

)，
由菱形ABCD知，點(

4m

7

，

3m

7

)也在直線BD：7x-7y+1=0上，
即7×

4m

7

-7×

3m

7

+1=0，∴m=-1，由m=-1∈(-

7

，

7

)知：
直線AC的方程為：x+y=-1，即x+y+1=0．

點評：本題考查橢圓方程和求法和直線方程的求法，解題時要認真審題，注意拋物線的性質的靈活運用，注意合理地進行等介轉化．