Question

【題目】已知定義在上的函數為奇函數.

（1）求的值；

（2）用定義證明函數的單調性，并解不等式；

（3）設，當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析，不等式的解集為（3）

【解析】

（1）根據奇函數定義，由，即可求解；

（2）根據函數單調性定義，設是上任意兩個實數，且，比較的大小關系，即可證明函數單調性，再由，利用單調性解不等式.

（3）由（1）中解析式，寫出解析式，運用換元法，設，則恒成立，可轉化成，恒成立，根據恒成立思想，轉化不等式，即可求解.

解：（1）由為定義域為的奇函數，

，得；經檢驗適合題意

（2）由（1）知，.

設是上任意兩個實數，且，則

由是定義在上的增函數，又，；

由指數函數性質可知，，，；

于是，即.

所以，函數是定義在上的減函數.

；

是定義在上的減函數，∴上式等價于，即；

∴不等式的解集為.

（3）.

設，則，恒成立，

即，恒成立，

整理得，，恒成立.

設，，

則，若滿足題意需，即；

所以，實數的取值范圍是.