Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為.

（1）求橢圓的方程式；

（2）已知動直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；

②已知點(diǎn)，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）＋＝1

（2）①±②見解析

【解析】試題分析：（1）解：因?yàn)闄E圓C滿足 ，根據(jù)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，可得，據(jù)此即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)將代入中，消元得，然后再利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果；②由①知， ，所以代入韋達(dá)定理化簡即可證明結(jié)果.

試題解析：（1）解：因?yàn)闄E圓C： 滿足 ，

根據(jù)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，

可得．

從而可解得，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①解：設(shè)

將代入中，

消元得，

， ，

因?yàn)?/span>AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得．

②證明：由①知， ，

所以

．