Question

已知函數y=

2x-1

x+1

．
（1）求函數f（x）圖象的對稱中心；
（2）判斷函數f（

x

）的單調性，并證明你的結論；
（3）e為自然對數的底數，求函數f（e^x）-f（e^-x）的值域．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的值域,奇偶函數圖象的對稱性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）化簡函數y，求出它的函數圖象的對稱中心；
（2）求出f（

x

），用定義證明它的單調性；
（3）求出f（e^x）-f（e^-x），根據（2）的結論求出f（e^x）-f（e^-x）的值域．

解答： 解：（1）∵函數y=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

，x+1≠0，
∴x≠-1，∴y≠2，
∴f（x）圖象的對稱中心是（-1，2）；
（2）f（

x

）=2-

3

x +1

（x≥0）是定義域上的增函數；
證明：任取x₁、x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（2-

3

x1 +1

）-（2-

3

x2 +1

）
=

3( x1 - x2 )

( x1 +1)( x2 +1)

=

3(x1-x2)

( x1 + x2 )( x1 +1)( x2 +1)

；
∵0≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，

x1

+

x2

＞0，

x1

+1＞0，

x2

+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是定義域上的增函數；
（3）∵f（e^x）-f（e^-x）=（2-

3

ex+1

）-（2-

3

e-x+1

）
=

3(ex-1)

ex+1

=3-

4

ex+1

；
由（2）知它是定義域上的增函數，且e^x∈（0，+∞），
∴f（e^x）-f（e^-x）的值域是（-1，3）．

點評：本題考查了求函數圖象的對稱中心，判定函數的單調性，以及求函數的值域的問題，解題時應認真分析，逐層深入，進行解答，是綜合性題目．