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精英家教網(wǎng)如圖,ABCD是邊長為2的正方形紙片,沿某動直線l為折痕,正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后點B都落在邊AD上,記為B′;折痕l與AB交于點E,點M滿足關系式
EM
=
EB
+
EB′

(1)如圖,建立以AB中點為原點的直角坐標系,求點M的軌跡方程;
(2)若曲線C是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的,
F是AB邊上的一點,
BA
BF
=4,過點F的直線交曲線C于P、Q兩點,且
PF
FQ
,求實數(shù)λ的取值范圍.
分析:(1)用消參法求點M的軌跡方程,再所建的直角坐標系中,設M點坐標為(x,y),B′點坐標為(t,1),根據(jù)
EM
=
EB
+
EB′
,把M點坐標用含參數(shù)t的式子表示,再消去參數(shù)t,就可得到點M的軌跡方程.
(2)先根據(jù)點M的軌跡求其關于邊AB對稱的曲線方程,可得到曲線C的方程,,再由
BA
BF
=4,過點F的直線交曲線C于P、Q兩點,且
PF
FQ
,把λ用直線PQ的斜率k表示,再根據(jù)k的范圍求λ的范圍即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)以B為原點,BA所在直線為y軸,BC所在直線為x軸,
建立直角坐標系如圖所示:
設B′(t,1),E(0,m),B(0,-1),
其中0≤t≤2,-1≤m≤1.
EM
=
EB
+
EB′
,且|
EB′
|=|
EB
|
,∴BEB′M是菱形,設M(x,y),
EM
=(x,y-m),
BB′
=(t,2),且
EM
BB′
,即
EM
BB′
=0
EM
BB′
=0⇒tx+2(y-m)=0
EM
=
EB
+
EB′
x=t
y=-m
   消去參數(shù)t,m,得y=-
1
4
x2(0≤x≤2)
(2)依題意知曲線C的方程為:x2=-4y  (-2≤x≤2),精英家教網(wǎng)
如圖設直線PQ的方程為y=kx-
1
2
  (-
1
4
≤k≤
1
4
).
代入曲線C的方程并整理,得x2+4kx-2=0.(-2≤x≤2),
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則
△>0
x1+x2=-4k
x1x2
(*)
又∵
PF
FQ
,,∴(-x1,-
1
2
-y1
)=λ(x2y2-
1
2
),
從而得x1=-λx2
代入(*)得
(1-λ)x2=-4k①
x22=-2    ②

1兩邊平方除以②式,得
(1-λ)2
=
(-4k)2
-2

(1-λ)2
λ
=8k2
,∵0≤k2(
1
4
)
2
,∴
(1-λ)2
λ
1
2

即2λ2-5λ+2≤0,∴
1
2
≤λ≤2.∴實數(shù)λ的取值范圍為[
1
2
,2].
點評:本題考查了消參法求軌跡方程,以及直線與圓錐曲線位置關系的判斷.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F-BE-D的余弦值;
(Ⅲ)設點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,ABCD是邊長為a的菱形,且∠BAD=60°,△PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD.
(1)求cos<
AB
PD
>的值;
(2)若E為AB的中點,F(xiàn)為PD的中點,求|
EF
|的值;
(3)求二面角P-BC-D的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,ABCD是邊長為2的正方形,面EAD⊥面ABCD,且EA=ED,EF∥AB,且EF=1,O是線段AD的中點,三棱錐F-OBC的體積為
23

(1)求證:OF⊥面FBC;
(2)求二面角B-OF-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•寧城縣模擬)如圖,ABCD是邊長為1的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求點F到平面BDE的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,ABCD是邊長為2的正方形紙片,沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后點B都落在邊AD上,記為B';折痕與AB交于點E,以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB.若以B為原點,BC所在直線為x軸建立直角坐標系(如下圖):
(Ⅰ).求點M的軌跡方程;
(Ⅱ).若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的,等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1,B1C1,C1D1分別與曲線S切于點P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面積的最小值.

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同步練習冊答案
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