Question

如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD．
（1）求cos＜

AB

，

PD

＞的值；
（2）若E為AB的中點，F為PD的中點，求|

EF

|的值；
（3）求二面角P-BC-D的大小．

Answer 1

分析：選取AD中點O為原點，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，-

a

2

，0），B（

3

2

a，0，0），P（0，0，

3

2

a），D（0，

a

2

，0）．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．
（1）所以

AB

=（

3

2

a，

a

2

，0），

PD

=（0，

a

2

，-

3

2

a），則cos＜

AB

，

PD

＞=

1

4

．
（2）因為E、F分別為AB、PD的中點，所以E（

3

4

a，-

a

4

，0），F（0，

a

4

，

3

4

a）．則|

EF

|=

10

4

a．
（3）因為面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，所以PO⊥面ABCD．因為BO⊥AD，AD∥BC，所以BO⊥BC．連接PB，則PB⊥BC，所以∠PBO為二面角P-BC-D的平面角．

解答：解：（1）選取AD中點O為原點，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，-

a

2

，0），B（

3

2

a，0，0），P（0，0，

3

2

a），D（0，

a

2

，0）．
∴

AB

=（

3

2

a，

a

2

，0），

PD

=（0，

a

2

，-

3

2

a），
則cos＜

AB

，

PD

＞=

AB • PD

| AB || PD |

=

3 a ×0+ a 2 × a 2 +0×(- 3 2 a)

( 3 2 a)2+( a 2 )2+02 × 02+( a 2 )2+(- 3 2 a)2

=

1

4

．
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點，
∴E（

3

4

a，-

a

4

，0），F（0，

a

4

，

3

4

a）．
則|

EF

|=

( 3 4 a-0)2+(- a 4 - a 4 )2+(0- 3 4 a)2

=

10

4

a．
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD．
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC．
連接PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P-BC-D的平面角．
在Rt△PBO中，PO=

3

2

a，BO=

3

2

a，
∴tan∠PBO=

PO

BO

=

3 2 a

3 2 a

=1．則∠PBO=45°．
故二面角P-BC-D的大小為45°．

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．