Question

.已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值域
（Ⅱ）設(shè)，若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（III）設(shè)，若在上的所有極值點(diǎn)按從小到大排成一列，
求證：

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223111150442.png" style="vertical-align:middle;" /> ；（Ⅱ）的取值范圍為 .（Ⅲ）.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的 運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定值域和運(yùn)用不等式恒成立問題，得到參數(shù)的取值范圍以及不等式的證明。
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232231113221130.png" style="vertical-align:middle;" />上單調(diào)遞增.
，從而得到值域。
（2）因?yàn)樵O(shè)，若在恒成立，可以構(gòu)造函數(shù)，記，則.
利用導(dǎo)數(shù)的思想確定最值得到參數(shù)的范圍。
（3）根據(jù)
令，則.
那么可知借助于正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到結(jié)論。
解：（Ⅰ） 上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223111150442.png" style="vertical-align:middle;" />                  ……………………. 4分
（Ⅱ），記，則.
當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞增.
又，故.從而在上單調(diào)遞增.
所以，即在上恒成立………….7分
當(dāng)時(shí)，.
所以上單調(diào)遞減，從而，
故在上單調(diào)遞減，這與已知矛盾. …………….9分
綜上，故的取值范圍為 .
（Ⅲ）
令，則.

依題意可知，
從而.  …………………….12分
又,所以.    …………….14分