Question

已知函數 ，．
(1）當  時，求函數  的最小值；
(2）當  時，討論函數  的單調性；
(3）是否存在實數，對任意的 ，且，有,恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）最小值為 ．（2）（1）當時，若為增函數；
為減函數；為增函數．
(2)當時,時,為增函數;
（3）當時，為增函數；
為減函數；
為增函數．  

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。分析函數的單調性和函數的最值，和不等式的證明綜合運用。
（1）利用已知函數求解函數的定義域，然后求解導函數，分析導數大于零或者小于零的解得到單調區間。
（2）根據已知的函數的單調性，對于參數a分情況討論，得到最值。
（3）假設存在實數a滿足題意，則利用函數的 單調性得到a的范圍
解；（1）顯然函數的定義域為，       .........1分
當．     ............2分
∴ 當，．
∴在時取得最小值，其最小值為 ．  ........ 4分
（2）∵， ....5分
∴（1）當時，若為增函數；
為減函數；為增函數．
(2)當時,時,為增函數;
（3）當時，為增函數；
為減函數；
為增函數．    ............ 9分
（3）假設存在實數使得對任意的 ，且，有,恒成立，不妨設，只要，即：
令，只要 在為增函數
又函數．
考查函數   ............10分
要使在恒成立，只要，
故存在實數時，對任意的 ，且，有,恒成立，