Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，，.

（Ⅰ）求證：平面面；

（Ⅱ）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由題意得到面，從而．又由題意證得四邊形為菱形，故得，于是平面．根據面面垂直的判定定理可得結論成立．（Ⅱ）由題意得為中點，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，根據兩向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值．

（Ⅰ）證明：因為，則，

又側面底面，平面平面，平面，

所以面．

因為平面，則．

又因為，四邊形為平行四邊形，

則，又

則為等邊三角形，則四邊形為菱形，

所以．

又，

所以平面．

又面，

所以平面平面．

（Ⅱ）由平面把四面體分成體積相等的兩部分，則為中點．

由（Ⅰ）知面，且四邊形為菱形、．以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則,．

設平面的法向量為，

由，得，

令，可得．

同理，平面的法向量．

所以．

由圖形得二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為．