Question

如圖，設、分別是圓和橢圓的弦，且弦的端點在軸的異側，端點與、與的橫坐標分別相等，縱坐標分別同號.

（Ⅰ）若弦所在直線斜率為，且弦的中點的橫坐標為，求直線的方程；
（Ⅱ）若弦過定點，試探究弦是否也必過某個定點. 若有，請證明；若沒有，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）弦必過定點.

試題分析：（Ⅰ）由題意得：直線的方程為
，，設
，將代入檢驗符合題意，
故滿足題意的直線方程為：
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圓的方程為：分
設、、、，
∵點在圓上，    ∴，………①
∵點在橢圓上，  ∴，………②
聯立方程①②解得：，同理解得： 
∴、    ∵弦過定點，
∴且，即，
化簡得 
直線的方程為：，即，
由得直線的方程為：，
∴弦必過定點.
解法二：由（Ⅰ）得：圓的方程為：
設、，
∵圓上的每一點橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的倍可得到橢圓，
又端點與、與的橫坐標分別相等，縱坐標分別同號，
∴、 
由弦過定點，猜想弦過定點. 
∵弦過定點，∴且，即……① ,,
由①得，
∴弦必過定點.
點評：本題以直線、圓、橢圓為載體，綜合考查推理論證能力、數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想．