Question

已知函數f（x）=x³-tx²+3x，若對于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減，則實數t的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，3]
• B、（-∞，5]
• C、[3，+∞）
• D、[5，+∞）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：由題意可得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，由二次函數的性質可得不等式組．

解答： 解：∵函數f（x）=x³-tx²+3x，f′（x）=3x²-2tx+3，
若對于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減，
則f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，
∴

f′(1)=3-2t+3≤0 f′(3)=27-6t+3≤0

，解得t≥5，
故選D．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數符號間的關系，二次函數的性質，屬于中檔題．