Question

【題目】已知是定義域為上的函數，若對任意的實數，都有：成立，當且僅當時取等號，則稱函數是上的凸函數，凸函數具有以下性質：對任意的實數，都有：成立，當且僅當時取等號，設

（1）求證：是上的凸函數

（2）設，，利用凸函數的定義求的最大值

（3）設是三個內角，利用凸函數性質證明

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據定義證明 成立，利用三角函數和差化積公式進行證明．

（2）根據定義求最值直接套入凸函數的定義式中，易得函數的最大值．

（3）直接利用凸函數性質證明不等式即可，注意到中，，可證得結論成立．

（1）設，，則 ，

又

，又，

當且僅當時，，上式取得等號，

即成立，其中，，

上的凸函數.

（2）設，，

是上的凸函數；，，

由凸函數的定義得到，

的最大值為.

（3）在中，，

由凸函數的性質得到．

所以原不等式得證．