Question

如圖橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過F作平行與AB的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)．作平行四邊形OCED，E恰在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若平行四邊形OCED的面積為

6

，求橢圓的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵焦點(diǎn)為F（c，0），AB斜率為

b

a

，故CD方程為y=

b

a

（x-c）．與橢圓聯(lián)立后消去y得2x²-2cx-b²=0．
∵CD的中點(diǎn)為G（

c

2

，-

bc

2a

），點(diǎn)E（c，-

bc

a

）在橢圓上，
∴將E（c，-

bc

a

）代入橢圓方程并整理得2c²=a²，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD的方程為y=

2

2

（x-c），b=c，a=

2

c．
與橢圓聯(lián)立消去y得2x²-2cx-c²=0．
∵平行四邊形OCED的面積為：
S=c|y_C-y_D|=

2

2

c

(xC+xD)2-4xCxD

=

2

2

c

c2+2c2

=

6

2

c2=

6

，
∴c=

2

，a=2，b=

2

．
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．