Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；②f（x+2）=-f（x）；③f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)．
下列關(guān)于f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在[2，4]上是減函數(shù)；
⑤f（4）=f（0）．
其中真命題是________（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

①②④⑤
分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性的定義，可得函數(shù)y=f（x）既是偶函數(shù)又是周期為4的周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)周期性、奇偶性和單調(diào)性之間的聯(lián)系，對(duì)五個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)加以判斷，即可得到正確答案．
解答：對(duì)于①，根據(jù)條件（2），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以函數(shù)f（x）的最小正周期是4，故①正確；
對(duì)于②，根據(jù)條件（1），可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，所以函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，
結(jié)合周期為4，可得f（2+x）=f（x-2）=f（2-x），所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)且在[-2，0]上是增函數(shù)，所以f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，則在[0，1]上不是增函數(shù)，故③不正確；
對(duì)于④，因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)f（x）在[-2，0]上是減函數(shù)且最小正周期是4，故函數(shù)f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，得到④正確；
對(duì)于⑤，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）最小正周期是4，故f（4）=f（0），得到⑤正確．
故答案為：①②④⑤
點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性和圖象的對(duì)稱性等概念，屬于中檔題，準(zhǔn)確理解函數(shù)的性質(zhì)與表達(dá)式之間的內(nèi)在聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵．