Question

已知函數.
（1）求函數的最大值；
（2）若函數與有相同極值點，
①求實數的值；
②若對于（為自然對數的底數），不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1），      
由得；由得.
在上為增函數，在上為減函數.       
函數的最大值為.     
（2）.
①由（1）知，是函數的極值點，
又函數與有相同極值點，是函數的極值點，
，解得.       
經驗證，當時，函數在時取到極小值，符合題意. 
②，
易知，即.
.     
由①知.
當時，；當時，.
故在上為減函數，在上為增函數.
，
而.
.  
當，即時，對于，不等式恒成立.
，
.       
當，即時，對于，不等式恒成立.
，
.
綜上，所求實數的取值范圍為.       
點評：導數常應用于求曲線的切線方程、求函數的最值與單調區間、證明不等式和解不等式中參數的取值范圍等。