Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知直線與橢圓相交于兩點，且坐標原點到直線的距離為，的大小是否為定值？若是求出該定值，不是說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）的大小為定值，且

試題分析：（I）設橢圓方程為                        ……1分
因為
則
于是                                               ……4分
因為                             ……5分
故橢圓的方程為                                              ……6分
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，由坐標原點到直線的距離為可知
,
∴,∴,                                            ……8分
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為, ,     ……9分
∵原點到直線的距離為,
∴，整理得（*）,                           ……10分
                        ……11分
,
將（*）式代入得,                      ……12分


,                     ……13分
∴ 
綜上分析，的大小為定值，且.                          ……14分
點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系題目時，如果需要設直線方程，則不要漏掉直線斜率不存在的情況；聯立直線方程與圓錐曲線方程后，不要忘記驗證判別式大于零.