Question

某公司擬制造如圖所示的工件（長度單位：米），要求工件的體積為10立方米，其中工件的中間為長方體，上下兩端為相同的正四棱錐，其底面邊長AB=a，高PO=．假設工件的制造費用僅與其表面積有關，已知正四棱柱側面每平方米制造費用為2千元，正四棱錐側面每平方米建造費用為4千元．設工件的制造費用為y千元．
（1）寫出y關于a的函數表達式，并求該函數的定義域；
（2）求該工件的制造費用最小時a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由長方體和四棱錐的體積的表達式，得到a和b的關系．再由柱和錐體的表面積公式建立關系式，將表達式中的b用a表示．并注意到寫定義域時，利用b＞0，求出自變量a的范圍．
（2）用導數的知識解決，注意到定義域的限制，確定函數f（x）在定義域上的單調性，從而可求函數的最大值．
解答：解：（1）AB=a，PO=，∴斜高為．…（2分）
∴一個正四棱錐的側面積為．
一個正四棱錐的體積為．               …（4分）
令長方體的高為b，則．∴．  …（6分）
由b＞0，得．                               …（8分），定義域為．…（11分）

（2），令y'=0，得．                 …（13分）
當，y'＜0，y為a的減函數；
當，y'＞0，y為a的增函數，…（15分）
（答）該工件的制造費用最小時，a的值為（米）．         …（16分）
點評：利用導數的知識研究函數單調性，函數最值問題是高考經常考查的知識點，同時考查空間想象力也蘊含在其中．