Question

某公司擬制造如圖所示的工件（長度單位：米），要求工件的體積為10立方米，其中工件的中間為長方體，上下兩端為相同的正四棱錐，其底面邊長AB=a，高PO=

3

8

a．假設工件的制造費用僅與其表面積有關，已知正四棱柱側面每平方米制造費用為2千元，正四棱錐側面每平方米建造費用為4千元．設工件的制造費用為y千元．
（1）寫出y關于a的函數表達式，并求該函數的定義域；
（2）求該工件的制造費用最小時a的值．

Answer 1

分析：（1）由長方體和四棱錐的體積的表達式，得到a和b的關系．再由柱和錐體的表面積公式建立關系式，將表達式中的b用a表示．并注意到寫定義域時，利用b＞0，求出自變量a的范圍．
（2）用導數的知識解決，注意到定義域的限制，確定函數f（x）在定義域上的單調性，從而可求函數的最大值．

解答：解：（1）AB=a，PO=

3

8

a，∴斜高為

( 3 8 a)2+( 1 2 a)2

=

5a

8

．…（2分）
∴一個正四棱錐的側面積為S1=4×

1

2

×a×

5a

8

=

5

4

a2．
一個正四棱錐的體積為V1=

1

3

a2×

3

8

a=

1

8

a3．               …（4分）
令長方體的高為b，則a2b+

1

8

a3×2=10．∴b=

10

a2

-

1

4

a．  …（6分）
由b＞0，得0＜a＜2

3	5

．                               …（8分）y=4ab×2+

5

4

a2×2×4=8ab+10a2=

80

a

+8a2，定義域為(0，2

3	5

)．…（11分）

（2）y′=-

80

a2

+16a，令y'=0，得a=

3	5

．                 …（13分）
當a∈(0，

3	5

)，y'＜0，y為a的減函數；
當a∈(

3	5

，2

3	5

)，y'＞0，y為a的增函數，…（15分）
（答）該工件的制造費用最小時，a的值為

3	5

（米）．         …（16分）

點評：利用導數的知識研究函數單調性，函數最值問題是高考經�？疾榈闹�識點，同時考查空間想象力也蘊含在其中．