【題目】連結圓周上九個不同點的36條弦要么染成紅色，要么染成藍色，我們稱它們為“紅邊”或“藍邊”.假定由這九個點中每三個點為頂點的三角形中都含有“紅邊”.證明：這九個點中存在四個點，兩兩連結的六條邊都是紅邊.
【答案】見解析
【解析】
圓周上九個點中任三點均不共線，任四點都是一凸四邊形的頂點.設這九個點為
，
，…，
.顯然每個
都要與其他八個點有邊相連.
（1）若存在一點向其他點引出至少四條藍邊，不妨設這四條藍邊為
，
，
，
.則
，
，
，
，
，
均為紅邊.即存在四點，
，
，
，其中每兩點連的都是紅邊（如圖）.
（2）若每一點向其余點引出的藍邊不多于3條.這時每兩點向其余點連的紅邊至少為5條.如果每一點都恰引出5條紅邊，則九個點恰引出
條紅邊.這不可能，因為邊數必為整數.所以，必存在某個點，比如點
，到其他點連的紅邊至少為6條.不妨設與，，，，，
連的
，
，
，
，
，
都是紅邊，這時五條邊，，，，
中至少有三條同色.不妨設，，同色.
①若，，同為藍邊，因，，均為紅邊，此時，，，四點所連六條邊均為紅邊（如圖）.
②若，，同為紅邊，則
三邊依條件不能全是藍邊，即至少有一條紅邊.不妨設為紅邊，這時，，，四點所連的六條邊均為紅邊（如圖）.
綜上所述，問題得證.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在長方形ABCD中，AB=
,AD=2,E,F為線段AB的三等分點，G、H為線段DC的三等分點．將長方形ABCD卷成以AD為母線的圓柱W的半個側面，AB、CD分別為圓柱W上、下底面的直徑．
（Ⅰ）證明：平面ADHF⊥平面BCHF；
（Ⅱ）若P為DC的中點，求三棱錐H—AGP的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列有關命題的說法正確的是（ ）
A. 命題“若
，則
”的否命題為：“若則
”
B. 若
為真命題，
為假命題，則
均為假命題
C. 命題“若
成等比數列，則
”的逆命題為真命題
D. 命題“若
，則
”的逆否命題為真命題
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l方程為（m+2）x﹣（m+1）y﹣3m﹣7＝0，m∈R．
（1）求證：直線l恒過定點P，并求出定點P的坐標；
（2）若直線l在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量表得如下頻數分布表：
質量指標值分組 | [75，85) | [85，95) | [95，105) | [105，115) | [115，125) |
頻數 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
（I）在答題卡上作出這些數據的頻率分布直方圖：
（II）估計這種產品質量指標值的平均數及方差（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（III）根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規定？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
是各項均不為
的等差數列，公差為
，
為其前
項和，且滿足
，
．數列
滿足
，
為數列的前n項和．
(1)求
、和；
(2)若對任意的，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標平面上的一列點
簡記為
，若由
構成的數列
滿足
，（其中
是與
軸正方向相同的單位向量），則稱為“
點列”.
（1）試判斷：
，...是否為“點列”？并說明理由.
（2）若為“點列”，且點
在點
的右上方.任取其中連續三點
，判斷
的形狀（銳角，直角，鈍角三角形），并證明.
（3）若為“點列”，正整數
滿足：
，且
，求證：
.
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