Question

如圖，已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，點P（-1，1）為圓O上一點．曲線C是以AB為長軸，離心率為

2

2

的橢圓，點F為其右焦點．過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．

Answer 1

分析：（1）由題意，得a=

2

，e=

2

2

，c=1，b²=1．由此可知橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由題意知直線OQ的方程為y=2x，又橢圓的右準線方程為x=2，所以Q（2，4），kPQ=

4-1

2-(-1)

=1．由此可知OP⊥PQ．所以直線PQ與圓O相切．

解答：解：（1）由題意，得a=

2

，e=

2

2

，
∴c=1，∴b²=1．
所以橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．（6分）
（2）∵P（-1，1），F（1，0），
∴kPF=-

1

2

，∴k_OQ=2．
所以直線OQ的方程為y=2x．（10分）
又橢圓的右準線方程為x=2，所以Q（2，4），所以kPQ=

4-1

2-(-1)

=1．
又k_OP=-1，所以k_PQ•k_OP=-1，即OP⊥PQ．
故直線PQ與圓O相切．（15分）

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系，解題時要注意公式的靈活運用．