Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形為菱形，點是棱上不同于， 的點，平面與棱交于點， ， ， ．

（Ⅰ）求證： ∥平面；

（Ⅱ）求證： 平面；

（Ⅲ）若二面角為，求的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用面面平行的性質定理得到線線平行，再利用線面平行的判定定理進行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的性質定理和菱形的對角線相互垂直得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理進行證明；（Ⅲ）利用空間向量進行求解.

試題解析：（Ⅰ）因為在三棱柱中，平面平面，

平面平面，

平面平面，

所以 .

又因為平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）因為，所以，

又因為平面平面，

所以平面.

所以 .

因為四邊形為菱形，所以 .

所以平面.

（Ⅲ）取線段中點，因為菱形中， ，

所以 .

又因為 ，所以 .

又因為平面.

如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，

則

所以， ， ， .

設，（ ）

，

設平面的法向量為，

則， 即，

令，則， .

所以.

由（Ⅱ）知， 是平面的一個法向量.則

因為二面角為，

.

解得，或（舍）.

所以，即的長為.