Question

如圖，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D為AB中點， AC=BC=PC=2．

（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCD；

（Ⅱ）求異面直線PD與BC所成角的大小；

（Ⅲ）設M為線段PA上的點，且AP=4AM，求點A到平面BCM的距離．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）因為PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PC⊥AB．

△ABC中，AC=BC，且D為AB中點，所以CD⊥AB．

又PC∩CD=C，所以AB⊥平面PCD．

（Ⅱ）如圖，取AC中點E，連結DE、PE，則DE∥BC，

所以∠PDE（或其補角）為異面直線PD與BC所成的角．

因為BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE；

又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE，

因為AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC，

因為PEC平面PAC，所以DE⊥PE．

在Rt△ABC中，因為AC=BC=2，所以AB=2

在Rt△PCD中，因為PC=2，CD=AB=，所以PD=．

在Rt△PDE中，因為DE=BC=1．所以cos∠PDE=

即異面直線PD與BC所成的角為arccos.

（Ⅲ）因為BC⊥AC，BC⊥PC，所以BC⊥平面PAC，所以平面PCM⊥平面BCM．

過點A作AN⊥CM交CM于N，則AN⊥平面BCM．

在Rt△PAC中，AC=PC=2，所以AP=2，又AP=4AM，所以AM=

△ACM中，∠MAC=45°，所以CM==

過M作MG⊥AC交AC于G，MG=AMsin45°=，

由MG?AC=AN?CM，得AN=．

所以點A到平面BCM的距離為．

解法二：如圖，以C為原點，分別以直線CA、CB、CP為x、y、z軸建立空間直角坐標系．

則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），

所以AB中點D（1，1，0）．

    （Ⅰ）因為=（-2，2，0），=（1，1，0），=（0，0，2）．

所以?=（-2，2，0）?（1，1，0）=0，

?=（-2，2，0）?（0，0，2）=0，

所以⊥，⊥．又CD∩CP=C，所以AB⊥平面PCD．

（Ⅱ）=（1，1，-2），=（0，2，0）．

所以cos（，）=

即異面直線PD與BC所成的角為arccos．

（Ⅲ）因為=4，所以M點坐標為（，0，）.

設平面BCM的法向量為n=（x,y,z）．

由得

取x=1，得n=（1,0,-3）是平面BCM的一個法向量．

又=（-2，0，0），

所以點A到平面BCM的距離

解法三：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．

   （Ⅲ）同解法一，得BC⊥平面PAC，因為CM平面PAC，所以BC⊥CM．

因為AM =AP=

在△ACM中，∠MAC=45°，

所以CM==.

設點A到平面BCM的距離為h，

由V_A-BCM=V_B-ACM，得??BC?CM?h=?AC?AM?sin45°?BC，

所以h=.

所以點A到平面BCM的距離為