Question

如圖，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D為AB中點，

AC=BC=PC=2．

(Ⅰ)求證：AB⊥平面PCD；

(Ⅱ)求異面直線PD與BC所成角的大小；

(Ⅲ)設M為線段PA上的點，且AP=4AM，求點A到平面BCM的距離．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)證明見解析。

(Ⅱ) arccos

(Ⅲ)

【解析】本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系，異面直線所成的角，點面距離等基礎知識；考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．滿分12分．

 (Ⅰ)因為PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PC⊥AB．………………………2分

          △ABC中，AC=BC，且D為AB中點，所以CD⊥AB．

          又PC∩CD=C，所以AB⊥平面PCD．…………………………………………4分

 (Ⅱ)如圖，取AC中點E，連結DE、PE，則DE∥BC，

           所以∠PDE(或其補角)為異面直線PD與BC所成的角．…………………5分

 

因為BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE；

又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE，

因為AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC，

因為PEC平面PAC，所以DE⊥PE．………6分

在Rt△ABC中，因為AC=BC=2，所以AB=2

在Rt△PCD中，因為PC=2，CD=AB=，

所以PD=．

在Rt△PDE中，因為DE=BC=1．所以cos∠PDE=

即異面直線PD與BC所成的角為arccos.……………………………8分

(Ⅲ)因為BC⊥AC，BC⊥PC，所以BC⊥平面PAC，所以平面PCM⊥平面BCM．

           過點A作AN⊥CM交CM于N，則AN⊥平面BCM．…………………10分

在Rt△PAC中，AC=PC=2，所以AP=2，又AP=4AM，所以AM=

△ACM中，∠MAC=45°，所以CM==

過M作MG⊥AC交AC于G，MG=AMsin45°=，

由MG·AC=AN·CM，得AN=．

所以點A到平面BCM的距離為．…………………………………12分