Question

如圖，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D為AB中點，AC=BC=PC=2。

（1）求異面直線PD與BC所成角的大小；
（2）設M為線段PA上的點，且AP=4AM，求點A 到平面BCM的距離。

Answer 1

解：（1）如圖，取AC的中點E，連結DE、PE，則DE∥BC， 所以∠PDE（或其補角）為異面直線PD與BC所成的角， 因為BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE； 又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE， 因為AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC， 因為PE平面PAC，所以DE⊥PE， 在Rt△ABC中，因為AC=BC=2，所以AB=2， 在Rt△PCD中，因為PC=2，CD=AB=，所以PD=， 在Rt△PDE中，因為DE=BC=1，所以cos∠PDE=， 即異面直線PD與BC所成的角為arccos。 （2）因為BC⊥AC，BC⊥PC，AC∩PC =C，所以BC⊥平面PAC，即BC⊥平面PCM， 又BC平面BCM， 所以平面PCM⊥平面BCM， 過點A作AN⊥CM交CM于N，則AN⊥平面BCM， 在Rt△PAC中，AC=PC=2，所以AP=2， 又AP=4AM，所以AM=， △ACM中，∠MAC=45°， 所以CM==， 過M作MG⊥AC交AC于G，MG=AMsin45°=， 由MG·AC=AN·CM，得AN=， 所以，點A到平面BCM的距離為。